Rumpelstilzchen hat Gold gesponnen

„Welch ein Kontrast zu meinem früheren Institut in München! Mit Gustav Obermair und Ullrich Schröder waren hier junge, unkonventionelle, dynamische Professoren der Theoretischen Festkörperphysik, die auf dem Stand der aktuellen Forschung waren und über beste internationale Kontakte verfügten“, berichtete Alexander Rauh, der von 1971 bis 1975 als Assistent am Lehrstuhl Obermair forschte. Er arbeitete in der „Viererbande“mit, deren weitere Mitglieder Douglas Hofstadter, Gustav Obermair und Gregory Wannier waren.

Gegory Wannier kam 1966 auf Einladung der TU München ein halbes Jahr in die Landeshauptstadt und hielt dort ein Seminar zur Elektronentheorie in Festkörpern ab. An der Vorbereitung des Seminars arbeitete ein junger Assistent mit. Diesen Assistenten – die Rede ist von Gustav Obermair – holte Wannier ein knappes Jahr später als Post Doctoral Fellow an die University of Oregon in Eugene. Damit war die Basis für eine über 15 Jahre andauernde Zusammenarbeit gelegt, die durch den Tod Wanniers im Jahr 1983 ihr Ende fand.

Im Sommer 1968 erhielt Obermair mit der Unterstützung Wanniers eine Stelle als Assistant Professor und später als Associate Professor an der Universität Pittsburgh. Die gewonnenen Erfahrungen prägten ihn. Hierzu zählten die enge Zusammenarbeit zwischen Theoretikern und Experimentalphysikern sowie die Gleichrangigkeit im gemeinsamen Umgang. Diesen Forschungsstil konnte er an der Reformuniversität Regensburg (im Senat herrschte Viertelparität!) ab 1970/71 fortführen.

für ein Elektron mit dem Impuls k  in einem Kristall mit der Gitterkonstanten a . Gemäß der Peierls-Onsager Hypothese requantisierte Hofstadter den Impuls durch den quantenmechanischen Impulsoperator p-eA/c im Magnetfeld. Den so erhaltenen effektiven Hamiltonian setzte Hofstadter in die zeitunabhängige Schrödingergleichung ein und substituierte

Mit einer Landau-Eichung A=H(0,x,0) des Magnetfeldes H  konnte Hofstadter für die Struktur der Lösungen in y-Richtung eine ebene Welle annehmen. Dadurch engen sich die möglichen Lösungen auf solche der Form

ein. Zuletzt führte Hofstadter den Parameter

ein. Diese dimensionslose Größe gibt das Verhältnis des magnetischen Flusses durch eine Einheitszelle zu einem Flussquant an. Mit all diesen Substitutionen wird die Schrödinger-Gleichung zur eindimensionalen Harper-Gleichung

Wannier hatte sich dem Problem in ähnlicher Weise genähert und eine zweidimensionale Differenzengleichung gefunden. Diese reduzierte Alexander Rauh durch die Landau-Eichung auf die eindimensionale Gleichung, die von Hofstadter als die bekannte Harper-Gleichung identifiziert wurde. Mit Hilfe eines von Obermair gefundenen Spurkriteriums konnte Hofstadter die Bedingung -4 ≤ ε ≤ 4 für die Energieeigenwerte festlegen. Die einfachsten Fälle löste Hofstadter analytisch. Doch das Eigenwertproblem wurde zunehmend komplexer. Hofstadter entschloß sich, einen Computer einzusetzen.

Dieser Schritt erscheint heute als naheliegend. Für die damalige Zeit war er jedoch eher unüblich. In der Forschungstradition, in der Hofstadter groß wurde, hatten theoretische Physiker eine komplexe Gleichung zunächst durch Transformationen oder geschickte Umformungen zu vereinfachen, um auf diesem Weg eine analytische Lösung zu finden. Falls dies nicht möglich war, so versuchten die Theoretiker, zumindest Sätze über die Natur der Lösungen zu beweisen.

Auch Hofstadters „numerische Spielereien“ wurden von einigen Kollegen äußerst kritisch beäugt. Obermair war jedoch sehr angetan von der Idee, einen Rechner nachts arbeiten zu lassen, und prägte auch den Spitznamen des HP 9820A. Das Gerät war in der Lage, nachts Gold zu spinnen, wie die Tochter des Müllers im Märchen Rumpelstilzchen der Brüder Grimm. Hofstadter nannte den Plot des Energiespektrums dementsprechend den Gplot.

Aufgrund der Ähnlichkeit zu einem Schmetterling wurde fortan auf das Spektrum unter dem Namen Hofstadter-Butterfly Bezug genommen. In Regensburg zeichnete Hofstadter dieses Spektrum mit der Hand, Wannier lehnte Hofstadters Zahlenspielerei allerdings zunächst ab: Hofstadter solle besser für seine Dissertation bereits bekannte Literatur zusammenfassen, anstatt Pseudowissenschaft zu betreiben. Erst als Hofstadter wieder zurück in Oregon mit Hilfe von Rumpelstiltskin, einem amerikanischen Rumpelstilzchen, und einem angeschlossenen Plotter die Details des Spektrums veranschaulichen konnte, setzte bei Wannier ein plötzlicher Gedankenumschwung ein. Er erkannte die Bedeutung der Arbeit und entschuldigte sich bei Hofstadter für seine Fehleinschätzung. Kurze Zeit später veröffentlichte Hofstadter seine Ergebnisse in der Physical Review B 14(1976):2239-2249.

Rauh und der Doktorand John Schellnhuber näherten sich von einer anderen Seite dem Problem. Sie gingen von Landau-Niveaus der Elektronen in einem Magnetfeld aus und betrachteten diese in einem zweidimensionalen periodischen Potential mit Hilfe der Störungsrechnung. Schellnhuber konnte so in seiner Dissertation die physikalische Begründung der Peierls-Onsager Hypothese geben.

Seit etwa 15 Jahren ermöglicht es die Halbleitertechnologie, den Hofstadter-Schmetterling direkt nachzuweisen. In lateralen Halbleiterübergittern in einem homogenen Magnetfeld kann mit Hilfe von Magnetotransportmessungen das Spektrum experimentell bestimmt werden.

Die ersten Vorarbeiten zu seinem Buch Gödel, Escher, Bach stellte Hofstadter bereits vor Beginn seiner Doktorarbeit an. Nach der Publikation des Gplot kehrte Hofstadter der Physik den Rücken und wandte sich vollständig der Arbeit an seinem Buch zu. Es erschien im Jahr 1979. Ein Jahr später wurde er für das Buch mit dem Pulitzer-Preis im Bereich Non-Fiction ausgezeichnet. Den Textsatz der Orginalausgabe nahm Hofstadter mit Hilfe des Programms TV Edit am Institute for Mathematical Studies in the Social Sciences der Universität Stanford selbst vor. Bemerkenswert ist auch die Form der Darstellung, die Hofstadter wählte. Er präsentierte neue Begriffe zunächst in einer anschaulichen Art und Weise in Dialogform. Im darauffolgenden Kapitel diskutierte er sie in abstrakter Form.

Das zentrale Thema in Hofstadters Buch ist die Selbstähnlichkeit oder Selbstbezüglichkeit. Diese fand er in seltsamen Schleifen in den unterschiedlichsten Bereichen wieder. Hofstadter definierte die Bewegung auf einer seltsamen Schleife über eine Bewegung auf Stufen innerhalb eines hierarchischen Systems nach oben oder unten, bei der man plötzlich wieder am Ausgangspunkt angelangt. In der Kunst entdeckte er sie in den Grafiken von Maurits C. Escher, in der Zahlentheorie in Kurt Gödels Satz von der Unvollständigkeit axiomatischer Systeme und in der Musik in Johann S. Bachs Variationen und Modulationen eines Themas, die den Hörer schließlich wieder zum Ausgangspunkt zurückführen.